2.1. Généralités

La première loi de Tobler :

” All things are similar, but nearby things are more similar than distant things.”

C’est à dire :

” Toutes choses sont similaires, mais les choses proches sont plus semblables que les choses lointaines.”

La mesure géostatistique qui décrit le taux de variation de la variable régionalisée est connue comme la semi-variance ou semi-variogramme.

La semi-variance est utilisée pour prédire la variable régionalisée à d’autres points non mesurées (krigeage).

2.2. Variables régionalisées

Une variable qui prend des valeurs en fonction de sa localisation spatiale est connue comme une variable régionalisée.

Pour une variable z mesurée à l’emplacement i, on peut partitionner la variabilité totale de z en trois composantes :

z (i) = s(i) + f(i) + ε

Où:

f (i) effet d’échelle ;   s (i) dépendance spatiale locale   ;  ε variance d’erreur

Les variables régionalisées sont des variables qui sont comprises entre des variables aléatoires et les variables déterministes.

À l’inverse des variables aléatoires, les variables régionalisées présentent une continuité spatiale.

Le variogramme est utilisé pour décrire des variables régionalisées.

2.3. Variogramme

D’après Marcotte, la nature n’est pas entièrement imprévisible.

Deux observations situées l’une près de l’autre devraient en moyenne se ressembler davantage que deux observations éloignées.

La différence entre les valeurs prises par deux variables aléatoires est Z(s)-Z(s+h). C’est également une variable aléatoire dont on peut calculer la variance. Cette variance devrait être plus petite lorsque les points sont rapprochés (les valeurs se ressemblent plus en moyenne) et plus grande lorsque les points sont éloignés. On appelle variogramme la demi-variance de cette différence.

γ(h)=1/2 Var(Z(s)-Z(s+h))

L’outil mesure la « variabilité spatiale », c’est-à-dire la dissemblance entre les valeurs en fonction de leurs séparations. Il décrit la continuité spatiale de la variable régionalisée.

 C’est l’outil fondamental en géostatistique pour analyser et modéliser la structure spatiale de la variable régionalisée.

Denis Marcotte, professeur de géostatistique au département de génie minéral de l’École Polytechnique de Montréal

2.4 Estimation du semi-variogramme

Variogramme théorique :

Le variogramme théoriqued’une fonction aléatoire a pour expression :

Le variogramme théorique est défini comme :

γ(h)=1/2 Var(Z(s)-Z(s+h))

Remarque:

-Dans l’hypothèse de stationnarité d’ordre 2, covariance et variogramme existent et sont liés par la relation

g(h) = C(0) – C(h) .

– Le variogramme réel d’une fonction aléatoire est généralement inconnu, mais il peut être évalué à partir des données d’échantillonnages. On obtient ainsi le variogramme expérimental proposé par Matheron (1962).

Le variogramme expérimental :

Le variogramme expérimental ou empirique est un estimateur du variogramme théorique à partir des données.

Le variogramme réel d’une fonction aléatoire est inconnu mais il peut être évalué à partir des données d’échantillonnage. On obtient ainsi le variogramme expérimental:

γ ̂(s,s^′ )=γ ̂(h)=1/(2N(h)) ∑17_(N(h))▒[Z(s_i )-Z(s_i+h)]  ²

Où N(h) nombre de couples de points de mesure distants de h

z(si) valeur au point de mesure sj

2.5 Propriétés du semi-variogramme

Cette fonction, habituellement croissante en fonction de h, synthétise beaucoup d’informations concernant le comportement conjoint des variables aléatoires et concernant “la continuité” de la minéralisation.

La figure suivante présente un modèle théorique de variogramme (sphérique) où la semi-variance γ(h) est fonction de l’intervalle d’échantillonnage (h).

Remarque : plus la fonction croit, moins les observations se ressemblent.

 Le variogramme est une fonction de h, croissante et souvent caractérisé par les paramètres suivants :

– la portée : a

– le palier : C1+C0

– l’effet pépite : C0

1-La Portée “a ” : Distance où deux observations ne se ressemblent plus du tout en moyenne, elles ne sont plus liées (covariance nulle) linéairement. À cette distance, la valeur du variogramme correspond à la variance de la variable aléatoire.

C’est aussi la distance en deçà de laquelle la dépendance spatiale est apparente (l’étendue spatiale de la structure dans les données)

2-Le seuil ou Palier σ2 =C0+C1: est la valeur à laquelle les niveaux du semi-variogramme s’annulent (valeur asymptotique).

C’est aussi : la variance de la v.a. (Var(Z(s)) ou encore Écarts les plus grands, en moyenne entre deux v.a.

3-Effet de pépite C0: est la semi-variance à une distance (0, 0).

C’est aussi : la variation à très courte échelle, erreurs de localisation, erreurs d’analyse et précision analytique.

2.6. Modélisation du semi-variogramme

Une fois le variogramme expérimental est calculé, il faut alors déterminer un modèle mathématique qui lui correspond et qui doit être opérationnel et simple à l’emploi : C’est l’ajustement du variogramme expérimental. Les schémas théoriques d’usage courant sont classés en schémas à palier, schémas sans palier et schémas à effet de trous.

Illustration des quatre modèles utilisés pour s’adapter aux semi-variogrammes :

2.6. Modélisation du semi-variogramme

Une fois le variogramme expérimental est calculé, il faut alors déterminer un modèle mathématique qui lui correspond et qui doit être opérationnel et simple à l’emploi : C’est l’ajustement du variogramme expérimental. Les schémas théoriques d’usage courant sont classés en schémas à palier, schémas sans palier et schémas à effet de trous.

Illustration des quatre modèles utilisés pour s’adapter aux semi-variogrammes :

Le variogramme : à quoi sert-il ?

Le variogramme est une fonction mathématique utilisée en géostatistique pour analyser la dépendance spatiale entre deux observations. Il permet de déterminer si la distribution de la mesure, teneur, etc. possède une structuration spatiale sur la parcelle étudiée.

Si elle possède une structuration on passera à la perdition de la variable aux endroits non mesurés …… en utilisant une méthode d’interpolation …… le krigeage.